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  • 高考数学常用基础知识点

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    内容提示: 高考数学常用公式,规律总结 1. 德摩根公式 ();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B. 2.UUABAABBABC BC A)BcardB)UAC B UC ABR 3.card A((card AcardAcard AB)B (()CcardAcardBcardCcard ABC2 ()()()()card ABcard Bcard CAcard ABC. 4. 二次函数的解析式的三种形式 ①一般式( )f x(0)axbx c a; ② 顶点式 2( )f x()(0)a xhk a;③零点式12( )f x()()(0)a xxxxax. 5. 设2121,,xbaxx那么 1212()( )f x()0xxf x1212( )f x()0( )f x,f xa bxx在上是增函数; 1212()( )f x()0xxf x1212( )f x()0( )f x,f xa bxx在上是减函数. 设函数)(xfy 在某个区间内可导, ...

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    高考数学常用公式,规律总结 1. 德摩根公式 ();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B. 2.UUABAABBABC BC A)BcardB)UAC B UC ABR 3.card A((card AcardAcard AB)B (()CcardAcardBcardCcard ABC2 ()()()()card ABcard Bcard CAcard ABC. 4. 二次函数的解析式的三种形式 ①一般式( )f x(0)axbx c a; ② 顶点式 2( )f x()(0)a xhk a;③零点式12( )f x()()(0)a xxxxax. 5. 设2121,,xbaxx那么 1212()( )f x()0xxf x1212( )f x()0( )f x,f xa bxx在上是增函数; 1212()( )f x()0xxf x1212( )f x()0( )f x,f xa bxx在上是减函数. 设函数)(xfy 在某个区间内可导, 如果( )f x的 图 象 的 对 称 性 : ① 函 数0)( xf, 则)(xf为增函数; 如果( )yf x0)( xf, 则)(xf为减函数. aax6.函 数y的 图 象 关 于 直 线 x对 称()()f axf ax(2)( )f xfax. ② 函 数( )f xy的 图 象 关 于 直 线2b对 称()()f amxf bmx()()f abmxf mx y. 7. 两个函 数图 象的对称性: ①函 数( )f x与函 数()yfx的图 象关于直线0x (即 y 轴) 对称. ②函 数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线2abxm对称. ③函数)(xfy 和)(1xfy的图象关于直线 y=x 对称. 8. 分数指数幂 1mnnmaa(0, ,m naN, 且1n  ) . 1mnmnaa(0, ,m naN, 且1n  ) . 9. log(0,1,0)baNbaN aaN. 10. 对数的换底公式 logloglogmamNNa. 推论 loglogmnaanbbm. 11.11,1,2nnnsnassn( 数列{ }na的前 n 项的和为12nnsaaa) . 12. 等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN)(1); 其前 n 项和公式 1(2nnn aas12n nnad211()22dnad n. 13. 等比数列的通项公式1*11()nnnaaa qq nNq; 其前 n 项的和公式11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q. 14. 等比差数列 bn a:11,(0)nnaqad ab q的通项公式为 1(1) ,d q1(),11nnnnabqdb qdqq; 其前 n 项和公式为(1) ,d q11(),1111nnnbn nsdqdbn qqqq. 15.分期付款(按揭贷款) 每次还款(1)(1)1nnabbxb元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为 b ). 16. 同角三角函数的基本关系式 22sincos1 , tan =cossin, tan1cot . 17. 正弦、 余弦的诱导公式 212( 1) sin ,sin()2( 1)s ,nnnco 212( 1)s ,s()2( 1)sin ,nnconco 18. 和角与差角公式 sin()cos()sincoscossintan1tantan; coscossinsinsin; tan()tan). 222sin()sin(sin2)(平方正弦公式) ; cos()cos(cossin. sincosab=22sin()ab(辅助角 所在象限由点 ( , )a b 的象限决定, tanba  ) . 19. 二倍角公式 sin2sincos. 2222cos2cossin2cos112sin  .2x2tantan21tancos(. 20. 三角函数的周期公式 函数sin()yx, x∈R 及函数)y, x∈R(A, ω ,  为常数, 且 A≠0, ω>0) 的周期2T; 函数tan()yx,,2xkkZ(A, ω ,  为常数, 且 A≠0, ω >0) 的周期T. 21. 正弦定理 2sin2sinc1sincosbc1abcRABC. 22. 余弦定理222abA;2222cosb1cacaB; 2222coscababC. 23. 面积定理(1)2122abcSahbhch(abchhh、、分别表示 a、 b、 c 边上的高) . (2)11sinsinsin222SabCbcAcaB. (3)2212(|| ||)()OABSOAOBOA OB     . α 为偶数 α 为奇数 α 为偶数 α 为奇数 24. 三角形内角和定理 在△ABC 中, 有 ()222CABABCCAB222()CAB. 25. 平面两点间的距离公式   , A Bd=||ABAB AB   222121()()xxyy(A11( ,x y), B22(,)x y) . 26. 向量的平行与垂直 设 a=11( ,x y), b=22(,)x y, 且 b 0, 则 a b b=λ a 12210x yx y. a b(a 0)  a· b=012120x xy y. 27. 线段的定比分公式 设111( ,)P x y,222(,)P x y,( , )P x y 是线段12PP 的分点,  是实数, 且12PPPP , 则 121211xxxyyy28. 三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为121OPOPOP 12(1)OPtOPt OP (11t) . 11A(x , y )、22B(x , y ) 、33C(x , y ) , 则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG. 29. 点的平移公式 ''''xxhxxhyykyyk''OPOPPP  (图形 F 上的任意一点 P(x, y) 在平移后图形'F 上的对应点为'''( ,)P x y, 且'PP的坐标为 ( , )h k ) . 30. 常用不等式: , a b(1)R222abab(当且仅当 a=b 时取“=” 号) . (2), a bR2abc aabab(当且仅当 a=b 时取“=” 号) . (3)3333(0,0,0).abcbca22 (4) 柯西不等式222()()() , , , ,a b c d.bcdacbdRb (5)ababay 31. 极值定理 已知x,都是正数, 则有 (1) 如果积 xy 是定值 p , 那么当yx 时和yx 有最小值p2; (2) 如果和yx 是定值s , 那么当yx 时积 xy 有最大值2441s . 32. 一元二次不等式20(0)axbxcx bx)x)(xx或2(0,0)abac , 如果 a 与2axbxc同号, 则其解集在两根之外; 如果a 与xx,xx或33. 含有绝对值的不等式 当 a> 0 时, 有 22xaxa  22xaxa2ax)(xc异号, 则其解集在两根之间. 简言之: 同号两根之外, 异号两根之间. 0()xx; )0()xxx. 121212(xx121212(xxxaxa. xa或 xa . 34. 无理不等式(1)( )f x0( )f x( )g x( )g x0( )f x( )g x . (2)2( )f x0( )f x0( )f x( )g x( )0( )g x0( )f x[ ( )]g xg x或. (3)2( )f x0( )f x( )g x( )g x0( )f x[ ( )]g x. 35. 指数不等式与对数不等式 (1) 当1a  时, ( )f x( )( )f x( )g xaag x; ( )f x0log( )f xlog( )g x( )0( )f x( )g xaag x. (2) 当 01a 时, ( )f x( )( )f x( )g xg xaa;( )f x0log( )f xlog( )g x( )0( )f x( )g xaag x 36.斜率公式 2121yykxx(111( ,)P x y、222(,)P x y) . 37.直线的四种方程 (1) 点斜式 11()yyk xxyy (直线l 过点111( ,)P x y, 且斜率为 k ). (2) 斜截式 ykx b(b 为直线l 在 y 轴上的截距) . xx0C(其中 A、 B 不同时为 0). :ly(3) 两点式 112121yyxx(12yy) (111( ,)P x y、222(,)P x y (12xx) ) . (4) 一般式 AxBy38.两条直线的平行和垂直 (1) 若111k x b,222:lyk x b ①121212,llkk bbA xB yl;②12121llk kA xB y  . C(2)若1111:0C,2l222:0,且 A1、 A2、 B1、 B2都不为零, ①11112222ABCllABC; ②1212120llA AB B; 39.夹角公式 212 1k ktan||1kk.(111:lyk x b,222:lyk x b,121k k   ) 12211212tanA BA BA AB B(1l111:0A xB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B). 直线12ll时, 直线 l1与 l2的夹角是2|d. 40.点到直线的距离 0022|AxByCAB(点00(,)P x y,直线l :0AxByC). 41. 圆的四种方程 (1) 圆的标准方程 222()()xaybr (x. (2) 圆的一般方程 220xyDxEyF(224DEF>0) . (3) 圆的参数方程 cossinxarybr. (4) 圆的直径式方程 1212)()()()0xxxyyyy(圆的直径的端点是11( ,A x y)、22(,)B x y) . 42. 椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb. 43. 椭圆22221(0)xyabab焦半径公式 )(21caxePF,)(22xcaePF. 44. 双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式21| (e x) |aPFc,22| (e) |aPFxc. 45. 抛物线pxy22上的动点可设为 P),2(2ypy或或)2 ,2 (P2ptpt P( ,)x y, 其中 22ypx. 46. 二次函数2224()224bac byaxbx c a xaa(0)a 的图象是抛物线: (1) 顶点坐标为24(,)24bac baa;(2) 焦点的坐标为41(,)24bac baa; (3) 准线方程是2414acbya. 47. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221212()()ABxxyy或 2222211212(1)()|| 1tan|| 1tABkxxxxyyco( 弦端点 A),(),,(2211yxByx, 由 方程0) y, x ( Fbkxy 消去 y 得到02cbxax,0 ,  为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率) . 48. 圆锥曲线的两类对称问题: ( , )F x y ( , )F x y 2 ((F xA49. “四线” 一方程 对于一般的二次曲线(1) 曲线0关于点00(,)P x y成中心对称的曲线是00(2- ,2)0Fx xyy. (2) 曲线0关于直线0AxByCC成轴对称的曲线是 2222)2 (B Ax),)0A AxByCByyBAB. 220AxBxyCyDxEyF, 用0x x 代2x , 用0y y 代2y , 用002x yxy代 xy , 用02xx代 x , 用02yy代 y 即得方程 0000000222x yxyxxyyAx xBCy yDEF, 曲线的切线, 切点弦, 中点弦, 弦中点方程均是此方程得到. 50.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、 b(b≠0 ), a∥b 存在实数λ 使 a=λ b. 51. 对空间任一点 O 和不共线的三点 A、 B、 C, 满足OP1xyz . xOAyOBzOC   , 则四点 P、 A、 B、 C 是共面52. 空间两个向量的夹角公式 cos〈a, b〉 =1 1a b2 2a b3 3212223222231a baaabbb(a=123( ,a a a,), b=123( ,b b b,)) . 53.直线 AB 与平面所成角sin||| |AB m   (marcAB m  为平面 的法向量). 54.二面角l 的平面角cos||||m n  或arcm ncos||||m n  ( marcm n , n为平面 ,  的法向量) . 55. 设 AC 是α 内的任一条直线, 且 BC⊥AC, 垂足为 C, 又设 AO 与 AB 所成的角为1 , AB 与 AC 所成的角为2  , AO 与AC 所成的角为 . 则12coscoscos. 56. 若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是222212sinsinsinsin1 ,2  , 与二面角的棱所成的角是θ , 则(当且仅当有122sinsincos ;1212||180()90 时等 号成立) . 57. 空间两点间的距离公式 若 A 111( ,x y z,), B222(,,)x y z, 则 , A Bd=||ABAB AB   222212121()()()xxyyzz. 58. 点Q 到直线l 距离221(||||)()||ha ba ba(点 P 在直线l 上, 直线l 的方向向量 a=PA , 向量 b= PQ ) . 59.异面直线间的距离 ||||CD ndn   (1, l l 是两异面直线, 其公垂向量为 n2, CD、分别是12, l l 上任一点, d 为12, l l 间的距离). 60.点 B 到平面 的距离 ||||AB ndn   ( n为平面 的法向量, AB 是经过面 的一条斜线, A) . 61.异面直线上两点距离公式 2222cosddmnmn (两条异面直线 a、 b 所成的 角 为 θ , 其公垂线段'A Em, AFn, EF62. 2123llllcos'AA 的 长度为 h. 在直线 a、 b 上分别 取两点 E、 F,d) . 222222123coscos1 (长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、、, 夹角分别为123、、)(立几中长方体对角线长的公式是其特例) . 63. 面积射影定理 'cosVSS(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、'S , 它们所在平面所成锐二面角的为 ) . 64. 欧拉定理(欧拉公式) 2FE(简单多面体的顶点数 V、 棱数 E 和面数 F) 65. 球的半径是 R, 则其体积是343VR, 其表面积是24SR. 66. 分类计数原理(加法原理)12nNmmm. 67. 分步计数原理(乘法原理)12nNmmmn. 68. 排列数公式 mn A =) 1() 1(mnnn=!)!(mn. (n , m ∈N*, 且mn) . 69. 排列恒等式 (1)1(1)mnmnAnmA; (2)1mnmnnAAnmmnA; (3)11mnmnAnA; (4)11nnnnnnnAAA; (5)11mnmnAmA. 70. 组合数公式 mnC =mnmmAA=mmnnnnnmn12) 1() 1(=!)!!(mnmnmn(n , m ∈N*, 且mn) . 71. 组合数的两个性质(1) C =mC ; (2) mnC +1 C=mn1  C 72. 组合恒等式 (1)11mnmnnmCCm; (2)1mnmnnCCnm; (3)11mnmnnCCm; (4)nrrnC0=n2 ; (5)1121rnrnrrrrrrCCCCC. 73. 排列数与组合数的关系是:mnmnAm C !1 . 74. 二项式定理 nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCbarn22210)( ; 二项展开式的通项公式:rrnrbaCT1)210, ,(nr,. 75. 等可能性事件的概率 ( )mP An. 76. 互斥事件 A, B 分别发生的概率的和 P(A+B) =P(A) +P(B) . 77. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+…+An) =P(A1) +P(A2) +…+P(An) . 78. 独立事件 A, B 同时发生的概率 P(A· B) = P(A) · P(B) . 79. n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2· …· An) =P(A1) · P(A2) · …· P(An) . 80. n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率( )(1).knkn knP kC PP1,2, 81. 离散型随机变量的分布列的两个性质: (1)0()iPi ; (2)121PP. 82. 数学期望1 1x P22nnE x Px Pb 83. 数学期望的性质: (1)()( )E aaEb; (2) 若 ~ ( , )B n p , 则 Enp . 84. 方差2221122nnDxEpxEpxEp 85. 标准差 =D. 86. 方差的性质(1) 22()DEE; (2)2D aba D; (3) 若 ~ ( , )B n p , 则(1)Dnpp . 87. 正态分布密度函数  22261,,2 6xf xex   式中的实数μ ,  (  >0) 是参数, 分别表示个体的平均数与标准差. 88. 标准正态分布密度函数  221,,2 6xf xex   . 89. 对于2( ,)N  , 取值小于 x 的概率 xF xF x . 12201xxPxxPxxxP 21F x 21xx . 90. 回归直线方程 yabx, 其中1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnxaybx. 91. 相关系数 12211()()niiinniiiixxyyrxxyy 1222211()()niiinniiiixxyyxnxyny. | r| ≤1, 且| r| 越接近于 1, 相关程度越大; | r| 越接近于 0, 相关程度越小. 0nq不存在不存在 lim11qq92. 特殊数列的极限 (1)|| 1limn11|| 11qqqq 或. (2)1101100()limn()()kkkktttttkkta nanaaktb nb nbbkt. (3)111nnaqaS( S 无穷等比数列11na q (|| 1q  ) 的和) . 93.0limx( )xf xa00limx( )f xlimx( )f xxxa.这是函数极限存在的一个充要条件. 94.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x), g(x), h(x)在点 x0的附近满足: (1)( )( )( )g xf xh x;(2)0lim ( )xx0, lim ( )xxg xah xa(常数) ,则0limx( )xf xa. 本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立. 95.两个重要的极限 (1)0sinlimx1xx ; (2)1lim 1xxex(e=2.718281845…). 96.)(xf在0x 处的导数(或变化率或微商)000000()()()limx limx x xf xxf xyf xyxx. 97. 瞬时速度00()( )s t( )limt limt ss tts ttt (v t  . 98. 瞬时加速度00)( )v t( )limt limt vtav ttt. 99.)(xf在),( ba的导数( )dydff xydxdxy 00()( )f xlimx limx yf xxxx在 . 100. 函数)(xfy 在点0x 处的导数是曲线)(xf))(,(00xfxP处的切线的斜率)(0xf, 相应的切线方程是))((000xxxfyy. 101. 几种常见函数的导数 0C(C 为常数) . (2) xxcos)(sin. (4) 1)(ln;a(log(1) '1()()nnxnxnQxx. (3) sin)(cos. (5) xxeaxxlog1). (6) xxee )(; aaaxxln)(. 102. 复合函数的求导法则 设函数( )xu在点 x 处有导数''( )xxu, 函数)(ufy 在点 x 处的对应点 U 处有导数''( )f uuy, 则复合函数( ( ))f( . ( , , ,a b c dyfx在点 x 处有导数, 且'x''xuyy u, 或写作'''( ( ))( )( )xxfxf u. 103. 可导函数a)(xfy c 的微分adxxdy). 104.,bidic bdR) 105. 复数 zabi的模(或绝对值) || z =||abi=22ab. 106. 复数的四则运算法则 (1) ()abi()()()cdiacbd i; (2) ()()()()abicdiacbd i; (3) ()()()()abi cdiac bdbcad i; (4)2222() ()(0)acbdbcadabicdii cdicdcd. 107. 复平面上的两点间的距离公式 22122121||()()dzzxxyy (111z xy i,222zxy i) . 108. 向量的垂直 非零复数  1zabi,2zcdi 对应的向量分别是1OZ,2OZ, 则 12OZOZ12z z 的实部为零21zz为纯虚数2221212||||||zzzz 2221212||||||zzzz1212|| ||zzzz0acbd12ziz (λ 为非零实数) . 109. 实 系 数 一 元 二 次 方 程 的 解 实 系 数 一 元 二 次 方 程242a20axbxc ,① 若240bac , 则1,2bbacx ; ②若240bac , 则122bxxa ; ③若240bac , 它在实数集 R 内没有实数根; 在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2bbac ixbaca  .

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