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  • 高考中如何解答好离散型随机变量分布列问题

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    内容提示: 高考中如何解答好离散型随机变量分布列问题 高考专题 高考中如何解答好离散型随机变量分布列问题 ------- 阳 钊 离散型随机变量分布列自从实行新的课程改革以来, 一直受到高考命题者的青睐, 成为继二面角之后高考的又一个热点, 因此如何解答好离散型随机变量分布列问题, 便成为决胜高考的一个重要指标。 本文想从三个方面谈起, 以利于帮助学生很好的解决离散型随机变量分布列的问题。 一. 正确理离散型随机变量的含义 离散型随机变量分布列其主要构成包含两方面的内容, 一是随机变量的可能取值, 二是取该值时对应的概率值。 正确理解离散型随机变...

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    高考中如何解答好离散型随机变量分布列问题 高考专题 高考中如何解答好离散型随机变量分布列问题 ------- 阳 钊 离散型随机变量分布列自从实行新的课程改革以来, 一直受到高考命题者的青睐, 成为继二面角之后高考的又一个热点, 因此如何解答好离散型随机变量分布列问题, 便成为决胜高考的一个重要指标。 本文想从三个方面谈起, 以利于帮助学生很好的解决离散型随机变量分布列的问题。 一. 正确理离散型随机变量的含义 离散型随机变量分布列其主要构成包含两方面的内容, 一是随机变量的可能取值, 二是取该值时对应的概率值。 正确理解离散型随机变量的含义, 为我们求解相应的概率奠定了基础。 例如(06 全国Ⅱ ) 某批产品成箱包装, 每箱 5 件. 一用户在购进该批产品前先取出3 箱, 再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验. 设取出的第一、 二、 三箱中分别有 0 件、 1件、 2 件二等品, 其余为一等品. (Ⅰ ) 用 ξ 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数, 求 ξ 的分布列及 ξ 的数学期望; (Ⅱ ) 若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品, 用户就拒绝购买这批产品, 求这批产品级用户拒绝的概率. 第一问中明确指出 ξ 是在抽检过程中 6 件产品中二等品的个数, 不难发现 ξ 的取值为0, 1, 2, 3。 但这里的 ξ 取 0 是指在第一箱、 第二箱、 第三箱中分别取到 2 件二等品;ξ 取 1 是指在第一箱、 第三箱中分别取 2 件一等品同时在第二箱中取 1 件一等品 1 件二等品或在第三箱中取 1 件一等品 1 件二等品同时在第一箱、 第二箱中各取 2 件一等品; ξ 取2 是指在第一箱中取 2 件一等品同时在第二箱、 第三箱中各取 1 件一等品 1 件二等品或在第一箱、 第二箱中各取 2 件一等品同时在第三箱中取到 2 件二等品; ξ 取 3 是指在第一箱取 2 件一等品, 在第二箱中取 1 件一等品 1 件二等品同时在第三箱中取 2 件二等品。 而不是在包含 3 件二等品的 15 件产品中抽取 6 件产品时含 0 件、 1 件、 2 件、 3 件二等品这种情形。 二、 分清概率分布类型, 正确理解二项分布与几何分布 分布列的求解中一要重视抽取中有无放回, 二要正确理解二项分布与几何分布, 找出它们的异同。 它们的共同特点是每次观察中出现的概率相等, 且都为独立重复试验, 不同点是二项分布所考虑的试验是一个只有两个结果的有限次试验, 而几何分布中是一个在依次试验 中只有两个结果的无限次试验, 因而在二项分布中变量的取值是从 0 到 n, 而在几何分布中变量取值是从 1 开始的非零自然数, 当然我们还可以通过“恰好” 、 “第一次” 、 “首次” 这些字眼上加以区分二项分布和几何分布。 三、 求解相应的概率不容忽略细节 分布列的求解, 其关键在于对响应取值时概率的计算, 而往往可能因为忽略其细节, 致使概率求解出错。 如(05 全国) 甲、 乙两队进行一场排球比赛, 根据以往经验, 单局比赛甲队胜乙队的概率 0. 6。 本场比采取五局三胜制, 即先胜三局的队获胜, 比赛结束, 设各局比赛相互之间没有影响, 今令 ξ 为本场比赛的局数, 求 ξ 的分布列和数学期望(精确到 0. 0001) 显然对于 ξ 的取值应为 3、 4、 5 三个, 而在当 ξ 取 4 时相应概率计算可能会忽略甲取胜或乙取胜 无论甲胜还是乙胜、 4 场比赛中第 4 场一定要胜, 可能甲, 也可能乙胜因而概率的计算过程中前三场中甲恰好胜两场或乙恰好胜两场 。 总之对离散型随机变量分布列问题的求解, 方法可能多种多样, 但我们必须认真阅读,抓住要害, 准确把握随机变量的含义, 分清所属类型、 解答中不忽略细节, 才可能在分布列求解问题中获胜, 为高考取胜增加比重。 例题精选 1. 一个口袋中装有大小相同的 2 个红球, 3 个黑球和 4 个白球, 从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回. (Ⅰ ) 连续摸球 2 次, 求第一次摸出黑球, 第二次摸出白球的概率;(Ⅱ ) 如果摸出红球, 则停止摸球, 求摸球次数不超过 3 次的概率. 【解析】 (Ⅰ ) 从袋中依次摸出 2 个球共有 A2119 种结果, 第一次摸出黑球、 第二次摸出白球有 A3A4 种结果, 则所求概率 PA11 3A41 A2 1(或 P1  3 4 1 ) . 96986 1 11(Ⅱ) 第一次摸出红球的概率为 A2 A7AA1, 第二次摸出红球的概率为 2A2, 第三次摸出红球的概率 9921 为 A7A 2A3, 则摸球次数不超过 3 次的概率为 9 1 PA2A11217A2A7A7 27276272 A1 2 23 . 或 P=      9A9A91299898712 . 2. 甲、 乙两人参加某种选拔测试. 在备选的 10 道题中, 甲答对其中每道题的概率都是3 5 , 乙能答对其中的 5 道题. 规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试, 答对一题加 10 分, 答错一题(不答视为答错) 减 5 分, 至少得 15 分才能入选. (Ⅰ ) 求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ ) 求甲、 乙两人中至少有一人入选的概率. 【解析】 (Ⅰ ) 设乙答题所得分数为X, 则 X 的可能取值为 15, 0, 15, 30. P(X  15)  C321 5 1C5C5 C3 ; P(X 0)  53 ; 1012C1012P(X 15)  C125C5  5; P(X 30)  C351 C33 . 1012C1012 乙得分的分布列如下: X  15 0 15 30 P 112 512 512 112 EX 112 ( 15)  512 0 512 15 11512 30 2 . (Ⅱ ) 由已知甲、 乙至少答对 2 题才能入选, 记甲入选为事件 A, 乙入选为事件 B. 则 P(A)  C23223815113(5) (5)  (5) 3 125, P(B)  12 12 2 . 故甲乙两人至少有一人入选的概率 P 1 P(A B)  1 44125 12 103125 . 3. (2011 陕西高考理 20 题) 如图, A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2, 据统计, 通过两条路径所用的时间互不影响, 所用时间落在个时间段内的频率如下表: 现甲、 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1) 为了 尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站, 甲和乙应如何选择各自的路径? (2) 用 X 表示甲、 乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数, 针对(1) 的选择方案, 求 X 的分布列和数学期望 . 【分析】 (1) 会用频率估计概率, 然后把问题转化为互斥事件的概率; (2) 首先确定X 的取值, 然后确定有关概率, 注意运用对立事件、 相互独立事件的概率公式进行计算, 列出分布列后即可计算数学期望. 【解析】 (1) Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时, 40 分钟内赶到火车站” , Bi 表示事件“甲选择路径 Li 时, 50 分钟内赶到火车站” , i 1, 2. 用频率估计相应的概率, 则有: P(A1)  0. 1 0. 2 0. 3 0. 6, P(A2)  0. 1 0. 4 0. 5 ∵P(A1)  P(A2) , ∴甲应选择路径 L1; P(B1)  0. 1 0. 2 0. 3 0. 2 0. 8, P(B2)  0. 1 0. 4 0. 4 0. 9; ∵P(B2)  P(B1) ,∴乙应选择路径 L2. (2) 用 A, B 分别表示针对(1) 的选择方案, 甲、 乙在各自允许的时间内赶到火车站, 由(1) 知 P(A)  0. 6, P(B)  0. 9, 又事件 A, B 相互独立, X 的取值是 0, 1, 2, ∴P(X 0)  P(AB)  P(A)  P(B)  0. 4 0. 1 0. 04, P(X 1 )  P(AB AB)  P(A) P (B)  P(A) P(B)  0. 4 0. 9 0. 6 0. 1 0. 42P( X 2)  P(AB)  P(A)  P(B)  0. 6 0. 9 0. 54, ∴X 的分布列为 ∴EX 0 0. 04 1 0. 42 2 0. 54 1. 5. 4. 某银行柜台设有一个服务窗口, 假设顾客办理业务所需的时间互相独立, 且都是整数分钟, 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 从第一个顾客开始办理业务时计时. (Ⅰ ) 估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (Ⅱ ) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数, 求 X 的分布列及数学期望. 【解析】 设 Y 表示顾客办理业务所需的时间, 用频率估计概率, 的 Y 的分布如下: (1) A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务” , 则时间 A 对应三种情形: ① 一个谷歌办理业务所需时间为 1 分钟, 且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟; ② 第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟, 且第二个顾客办理业务所需的时间为1 分钟; ③ 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟。 所以 P(A)  P(Y 1) P(Y 3)  P(Y 3) P(Y 1)  P(Y 2) P(Y 2)  0. 1 0. 3 0. 3 0. 1 0. 4 0. 4 0. 22 (2) 解法一: X 所有可能的取值为: 0, 1, 2. X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P(X 0) P(Y 2)  0. 5; X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过 1 分钟, 或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟, 所以 P(X 1)  P(Y 1) P(Y 1)  P(Y 2) 0. 1 0. 9 0. 4 0. 49; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以 P(X 2 )  P(Y 1) P(Y 1)  0. 1 0. 1 0. 01; 所以 X 的分布列为 EX 0 0. 5 1 0. 49 2 0. 01 0. 51. 解法二: X 所有可能的取值为 0, 1, 2. X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P(X 0)  P(Y 2)  0. 5; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以 P(X 2)  P(Y 1) P(Y 1)  0. 1 0. 1 0. 01; P(X 1 )  1 P(X 0)  P(X 2)  0. 49; 所以 X 的分布列为 EX 0 0. 5 1 0. 49 2 0. 01 0. 51。 5. (2013 年高考陕西卷(理) ) 在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手(1 至 5 号) 登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手, 其中观众甲是 1 号歌手的歌迷, 他必选 1 号, 不选 2 号, 另在 3 至 5 号中随机选 2 名. 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱, 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (Ⅰ ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (Ⅱ ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、 乙、 丙的票数之和, 求 X 的分布列和数学期望. 【解析】 解:(Ⅰ ) 设事件 A 表示: 观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手. 观众甲选中3 号歌手的概率为 23, 观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1-3 5 . 所以 P(A) = 234 3( 1-5)  15 . 因此, 观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 4 15 (Ⅱ ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、 乙、 丙的票数之和, 则 X 可取 0, 1, 2, 3. 观众甲选中 3 号歌手的概率为 23, 观众乙选中 3 号歌手的概率为 35 . 当观众甲、 乙、 丙均未选中 3 号歌手时, 这时 X=0, P(X = 0) = (1 234 3)  (1 5) 2 75 . 当观众甲、 乙、 丙中只有 1 人选中 3 号歌手时, 这时 X=1, P(X = 1) = 23 (1 35) 2 (1 23)  332338 6 6205 (1 5)  (1 3)  (1 5) 5 75  75 . 当观众甲、 乙、 丙中只有 2 人选中 3 号歌手时, 这时 X=2, P(X = 2) = 23323323312 9 1233 3 5 (1 5)  (1 3)  5 5 3 (1 5)  5 75  75 . 当观众甲、 乙、 丙均选中 3 号歌手时, 这时 X=3, P(X =3) = 2318 3 (5) 2 75. X 的分布列如下表: EX 0 475 1 2075 2 3375 3 1875 20 66 5475  2815 所以, 数学期望 EX 28 15 6. (2013 年高考湖南卷(理) ) 某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个 格点(指纵、 横的交叉点记忆三角形的顶点) 处都种了一株相同品种的作物. 根据历年的 种植经验, 一株该种作物的年收获量 Y(单位: kg) 与它的“相近” 作物株数 X 之间的关系如下表所示: 这里, 两株作物“相近” 是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (I) 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物, 求它们恰 好 “相近” 的概率; (II) 从所种作物中随机选取一株, 求它的年收获量的分布列与数学 期望. 【解析】 (Ⅰ ) 由图知, 三角形边界共有 12 个格点, 内部共有 3 个格点. 从三角形上顶 点按逆时针方向开始, 分别有 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1 对格点, 共 8 对格点恰好“相近” . 所以, 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物, 它们恰好“相近” 的概率 P  812 3 2 9 (Ⅱ ) 三角形共有 15 个格点. 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 1 个的格点有 2 个, 坐标分别为(4, 0), (0, 4) . 所以 P(Y 51)   415 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 2 个的格点有 4 个, 坐标分别为(0, 0) , (1, 3) , (2, 2) , (3, 1) . 所以 P(Y 48)   415 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 3 个的格点有 6 个, 坐标分别为(1, 0) , (2, 0) , (3, 0) , (0, 1, ) , (0, 2) , (0, 3, ) . 所以 P(Y 45)   615 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 4 个的格点有 3 个, 坐标分别为(1, 1) , (1, 2) , (2, 1) . 所以 P(Y 42)  315 如下表所示: E(Y)  51  15 48 15 45 15 42 15 15 15  46  E(Y)  46. 7. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理) ) 某商场举行的“三色球” 购物摸奖 活动规定:在一次摸奖中, 摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3个球, 再从装 有个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出个球, 根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数, 设一. 二. 三 等奖如下: 奖级 摸出红. 蓝球个数 获奖金额 一等奖 3 红 1 蓝 200 元 二等奖 3 红 0 蓝 50 元 三等奖 2 红 1 蓝 10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1) 求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2) 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E X . 【解析】 设 Ai 表示摸到i 个红球, Bj 表示摸到 j 个蓝球, 则 Ai(i=0, 1, 2, 3) 与 Bj(j=0, 1) 独立. (1) 恰好摸到 1 个红球的概率为 P(A1) =C123C4 18C3 . 735 (2) X 的所有可能值为 0, 10, 50, 200, 且 P(X=200) =P(A3B1) =P(A3) P(B1) =C3311C3  , 73105C3232P(X=50) =P(A3B0) =P(A3) P(B0) =3,   C73105P(X=10) =P(A2B1) =P(A2) P(B1) =P(X=0) =1    P 1 aa b c 2 ba b c 3 ca b c CC1124 ,    3 C7310535 2314 1246   . 105105357 综上知 X 的分布列为 5a2b3c  E       3a b ca b ca b c 所以: , 所以 55a52b53c D   (1 ) 2  (2 ) 2  (3 ) 2 从而有 E(X) =0×67+10× 35 +50×105+200× 105=4(元) . 8. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理) ) 设袋子中装有 a 个红球, b 个黄球, c 个蓝球, 且规定:取出一个红球得 1 分, 取出一个黄球 2 分, 取出蓝球得 3 分. (1) 当 a 3, b 2, c 1 时, 从该袋子中任取(有放回, 且每球取到的机会均等) 2 个球, 记随机 变量 为取出此 2 球所得分数之和, . 求 分布列; (2) 从该袋子中任取(且每球取到的机会均等) 1 个球, 记随机变量 为取出此球所得分数. 若 E  53, D  5 9 , 求 a: b:c. 【解析】 (Ⅰ ) 由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时  2, 此时 P(  2)   3 36 6 1 4 ; 当两次摸到的球分别是黄黄, 红蓝, 蓝红时  4, 此时 P(  4)  2 23 11 35 6 6 6 6 6 6 18; 当两次摸到的球分别是红黄, 黄红时  3, 此时 P(  3)  3 22 31 6 6 6 6 3; 当两次摸到的球分别是黄蓝, 蓝黄时  5, 此时 P(  5)  1 26 6 2 11 6 6 9; 当两次摸到的球分别是蓝蓝时  6, 此时 P(  6)  1 11 6 6  36 ; 所以 的分布列是:   2 3 4 5 6 P 1 1514 3 18 19 36 (Ⅱ ) 由已知得到:  有三种取值即 1, 2, 3, 所以 的分布列是:    93a b cb 2c, a 3c a: b: c 3: 2: 1. 3a b c3a b c wELT#-6dlsAHPX&29 hpwELT!-6dlt AIPX*2ahpxEM T!+6eltBIQX* 2aipxEMU!+6e mtBIQY*3aiqx FMU$+ 7emuBJQ Y*3biqxFNU$+ 7fmuBJRY(3bj qyFNV $07fnuC JRY(4bjqyGN V $08fnuCKRZ(4 cjryGOV%08gn vCKSZ) 4cjrzGOV%18gnvDKSZ ) 5ckr zHOW%19 govDLS#) 5ckszHOW&19gowDL S#-5d ksAHPW& 29howELT#-5dlsAHPX&29hpw ELT!- 6dltAIP X*2ahpxEMT!-6eltAIQX*2ai pxEMU !+6emtB IQY*3aiqxFM U $+7emtBJQY*3 biqxF NU$+7fm uBJRY(3bjqy F NV$07fmuCJRY (4bjq yGNV$08 fnuCKRZ(4cjr yGOV%08fnvCK RZ) 4cjrzGOV% 18gnvDKSZ) 5c krzHOW%19gov DKS#)5ckszHO W&19gowDLS#-5dksAHPW&29h owDLT #-5dlsA HPX&29 hpwELT!-6dltAIPX* 2ahpwEM T!-6e ltAIQX*2aipxEMU!+6emtBIQ Y*3aiq xFMU!+ 7emtBJQY*3biqxFNU$+7fmuB JRY(3bjqyFNU $07fmuCJRY(4bjqyGNV$08fn uCKRZ( 4cjryG NV%08fnvCKRZ) 4cjrzGOV%18 gnvDKSZ ) 5ckr zHOW%18govDKS#) 5ckszHOW& 19gowDL S#-5d ksAHPW&19howDLT#-5dlsAHP X&29hp wELT!- 6dltAIPX&2ahpwEMT!-6eltA IQX*2a ipxEMU !+6emtBIQY*3aipxFMU! 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